Информация

Поверхностный лапласиан с использованием данных x и y

Поверхностный лапласиан с использованием данных x и y


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

У меня есть данные eeg с названиями каналов и местоположениями в направлении x и y - 2D проекция

Можно ли сделать поверхностный лапласиан?

Если нет, можно ли было бы использовать для этого чьи-то трехмерные координаты?


Алгоритм

Вопреки тому, что я думал изначально, реализация линейной регрессии в scikit-learn минимизирует функцию затрат в форме:

используя сингулярное разложение X.

Если вы уже знакомы с линейной регрессией, вы можете увидеть некоторое сходство с предыдущим уравнением и среднеквадратичной ошибкой (MSE).

В качестве быстрого напоминания предположим, что у нас есть следующий график рассеяния и линия регрессии.

Мы вычисляем расстояние от линии до заданной точки данных, вычитая одно из другого. Мы возьмем квадрат разницы, потому что мы не хотим, чтобы прогнозируемые значения ниже фактических значений компенсировались значениями выше фактических. Математически последнее можно выразить следующим образом:

Функция стоимости, используемая в библиотеке scikit-learn, аналогична, только мы вычисляем ее одновременно с использованием матричных операций.

Те из вас, кто прошел курс математического анализа, наверняка уже сталкивались с подобными обозначениями раньше.

В этом случае, Икс - вектор, и мы вычисляем его величину.

В том же смысле, когда мы окружаем переменную для матрицы (то есть A) вертикальными полосами, мы говорим, что хотим перейти от матрицы строк и столбцов к скаляру. Есть несколько способов получить скаляр из матрицы. В зависимости от того, какой из них используется, вы увидите другой символ справа от переменной (дополнительные 2 в уравнении не были добавлены случайно).

Дополнительные 2 подразумевают, что мы берем евклидову норму матрицы.

Предположим, у нас есть матрица A, евклидова норма матрицы A равна квадратному корню из наибольшего собственного значения транспонированной точки A. Для ясности давайте рассмотрим пример.


Методы

Данные, использованные при подготовке этой работы, были получены и предоставлены проектом Human Connectome Project (HCP), консорциумом WU-Minn (главные исследователи: Дэвид Ван Эссен и Камил Угурбил 1U54MH091657), который финансируется 16 институтами и центрами NIH. поддержка проекта NIH для исследований в области нейробиологии и Центра системной нейробиологии им. Макдоннелла при Вашингтонском университете. Мы используем данные МРТ и DTI 10 не связанных между собой субъектов (шесть женщин, возраст 22–35), предоставленные HCP, консорциумом WU-Minn, доступные на https://db.humanconnectome.org/data/projects/HCP_500. Все наборы данных МРТ и DTI были предварительно обработаны в соответствии с минимальными рекомендациями по предварительной обработке протокола HCP, и никакой дополнительной предварительной обработки не выполнялось.

Для количественной оценки сетей состояния покоя (RSN) мы используем разбиение коры головного мозга на семь сетей (режим по умолчанию, контроль, дорсальное внимание, вентральное внимание, зрительные, лимбические и сомато-моторные сети), идентифицированных по внутренним функциональным сетям 1000 испытуемых. данные о подключении 27, доступны на http://surfer.nmr.mgh.harvard.edu/fswiki/CorticalParcellation_Yeo2011.

Рабочий процесс

По данным T1-взвешенной МРТ каждого испытуемого (разрешение 0,7 мм) мы реконструируем корковые поверхности, разделяющие белое и серое вещество, называемые поверхностью белого вещества в остальной части рукописи, а также серое вещество и спинномозговую жидкость. , называемая поверхностью серого вещества в остальной части рукописи, отдельно для каждого полушария с использованием программного обеспечения Freesurfer http://freesurfer.net. Мы регистрируем каждую кортикальную поверхность на 1000 субъектов средней кортикальной поверхности данных кортикальной парцелляции (в остальной части рукописи упоминается как средний субъект, представленный 20 484 вершинами), чтобы обеспечить возможность сравнения вершин между вершинами. коннектомные гармоники и 1000 предметных усредненных эталонов сетей в состоянии покоя.

Из данных DTI каждого субъекта (разрешение 1,25 мм) мы извлекаем корково-корковые и таламо-кортикальные волокна белого вещества, применяя алгоритм детерминированной трактографии 60 с использованием реализации MATLAB лаборатории Vista Lab, Стэнфордский университет http: //white.stanford .edu / newlm / index.php / MrDiffusion. После регистрации данных DTI и корковой поверхности каждого субъекта мы инициализируем семена для трактографии на корковой поверхности, разделяющей белое и серое вещество. Сосредоточившись вокруг каждой вершины (узла) - всего 20 484 - мы инициализируем восемь семян и выполняем трактографию со следующими параметрами: порог фракционной анизотропии 0,3, то есть фракционная анизотропия & lt0,3 является критерием завершения отслеживания, минимальная длина тракта 20 мм. , и максимальный угол между двумя смежными шагами отслеживания 30 °.

Графическое представление коннектома человека

Графическое представление коннектома человека формируется путем представления вершин, отобранных с поверхности серого вещества, узлами с п общее количество узлов (20 484 в этом исследовании) и включение локальных и дальних связей между вершинами в качестве ребер графа. Таким образом, локальные связи соответствуют связям вершин на корковой поверхностной сетке (шесть связей на вершину с их ближайшими соседями), а дальнодействующие связи определяются кортико-кортикальными и таламо-кортикальными волокнами белого вещества. С этой целью ближайшая вершина каждой конечной точки волокна идентифицируется на кортикальной поверхности серого вещества, и для каждого тракта волокна добавляется дальнодействующая связь между двумя вершинами. В этом исследовании мы используем неориентированное, невзвешенное представление графа, приводящее к следующей матрице смежности:

Важно отметить, что эта графическая модель коннектома человека отличается от предыдущих исследований 10,12, в которых каждый узел представляет одну корковую область, полученную путем определенного разделения коры головного мозга, а края обозначают плотность волокон между корковыми областями. . В отличие от предыдущих графических моделей коннектома человека, конкретное представление, используемое в нашем исследовании, близко аппроксимирует непрерывную форму коры головного мозга человека из-за однородной и плотной выборки вершин (узлов) с непрерывной корковой поверхности серого вещества.

Коннектомный лапласиан и коннектомные гармоники

Учитывая графическое представление коннектома человека, мы вычисляем лапласиан симметричного графа на графе коннектома, чтобы оценить дискретный аналог оператора Лапласа 23,45 Δ, примененный к коннектому человека, лапласиану коннектома, как:

где матрица смежности А определено в уравнении (1) и

обозначает матрицу степеней графа. Затем мы вычисляем гармоники коннектома, j ∈ <1, ⋯ , п> путем решения следующей задачи на собственные значения:

с участием λj, j ∈ <1, ⋯ , п> - соответствующие собственные значения.

Модель нейронного поля

Позволять E(Икс, т) а также я(Икс, т) соответствуют активности, то есть локальным пространственно-временным средним мембранным потенциалам возбуждающих и тормозных нейронов в кортикальном месте в момент времени. т. Следуя уравнениям Уилсона-Коуэна 30,35, временная эволюция частот возбуждающих и тормозных нервных импульсов удовлетворяет следующим нелинейным дифференциальным уравнениям 35:

где `` и обозначают операторы диффузии (пространственного распространения) возбуждающих (E) и ингибирующая активность (я), каждый по отдельности действующий на возбуждающую и тормозящую популяции с именами (EE, IE) и (EI, II) соответственно. Здесь S обозначает сигмоидальную функцию активации,

а также τs - характерный временной масштаб системы. Мы расширяем уравнения Вильсона-Коуэна на полную структурную связность таламо-кортикальной системы, добавляя лапласиан коннектома к условиям диффузии (пространственного распространения) (дополнительные примечания 1 и 2).

Липуновская устойчивость

Мы проверяем устойчивость модели нейронного поля к возмущениям с помощью анализа устойчивости по Ляпунову 50. Этот метод включает в себя возмущение системы в какое-то время. т* и наблюдение за тем, сходится ли возмущенная система к исходной системе. В этом случае систему можно назвать устойчивой по Ляпунову. Поскольку модель нейронного поля является колебательной для рассматриваемых нами наборов параметров, мы должны определить меру, которая определяет расстояние между двумя состояниями. Сначала мы возмущаем систему по отдельности 10 раз белым шумом за время т*. Затем мы берем абсолютное значение разницы в каждом узле на каждом временном шаге и берем максимальную разницу. Это известно как L-infinity norm и обычно используется в анализе устойчивости, поскольку он рассматривает наихудший случай, а не средний случай. На каждом временном шаге мы сравниваем все различия между 10 возмущенными системами и снова берем наихудший случай. Это количество определяется как L(т). Наносим меру расстояния L(т) с течением времени и понаблюдайте, L(т) → 0 или L(т)→ɛ с участием ɛ≈0. На рис. 5 (а) мы видим, что L(т)→ɛ и ограничен, демонстрируя устойчивость модели нейронного поля к шумовым возмущениям.


Вычислительная биомеханика для анализа медицинских изображений

39.2 Анализ изображений информирует биомеханику: модель вычислительной биомеханики для конкретного пациента на основе медицинских изображений 1

39.2.1 Извлечение геометрии из медицинских изображений: сегментация

Метод конечных элементов использует сетку из взаимосвязанных шестигранных и / или тетраэдрических элементов в качестве расчетной сетки. Для построения таких сеток необходима замкнутая поверхность, определяющая границу анализируемого континуума (органа человеческого тела) [18,19]. Извлечение такой поверхности из медицинских изображений требует сегментации (рис. 39.2). Чтобы сделать создание модели FE для конкретного пациента действительно применимым к крупным клиническим исследованиям, в идеале сегментация (и другие этапы разработки модели) должны быть автоматизированы.

Рисунок 39.2. От медицинского изображения до модели вычислительной биомеханики для конкретного пациента с использованием метода конечных элементов (пример нейрохирургического моделирования). Сегментация изображений, генерация поверхностей и построение конечно-элементной сетки часто требуют непосредственного участия аналитика и, следовательно, являются трудозатратными. По материалам Wittek et al. [85].

Автоматическая сегментация изображений остается сложной задачей из-за сложности медицинских изображений. Следовательно, не существует универсального алгоритма сегментации каждого медицинского изображения. Методы, доступные для сегментации, зависят от приложения, метода визуализации и рассматриваемой анатомической структуры [85]. Примеры методов, которые использовались для автоматизации сегментации анатомических структур, включают пороговую обработку [73], наращивание области, методы, основанные на водоразделе [8], подход набора уровней [80] и алгоритмы обнаружения краев (например, отслеживание контуров с использованием концепция расширенной границы [61], обнаружение краев Кэнни [17], обнаружение краев Собеля и обнаружение краев Лапласа [25]).

Чтобы улучшить сегментацию медицинских изображений, можно использовать предварительную анатомическую информацию, чтобы помочь очертить анатомические структуры. Для этого часто используются статистические методы и, в последнее время, машинное обучение. Примеры включают алгоритм сегментации максимального ожидания (EM), который применялся при сегментации различных анатомических структур, таких как мозг [55,76] и длинные кости (бедренная и большеберцовая кость) [78].

39.2.2 Генерация конечно-элементной сетки

Сегодня 4-узловые тетраэдры и 8-узловые гексаэдры являются наиболее часто используемыми типами конечных элементов. Генераторы тетраэдрической сетки являются стандартной функцией широко используемых пакетов автоматизированного проектирования для автоматизированного проектирования. Они используют хорошо зарекомендовавшие себя методы и схемы оптимизации [21], включая метод триангуляции Делоне [2], метод модифицированного октодерева [63] и метод продвинутого фронта [62]. Генераторы тетраэдрической сетки, доступные в коммерческих пакетах CAE, облегчают автоматизированную (с необходимыми вводными данными аналитика, обычно ограниченными параметрами, определяющими размер элемента, плотность сетки и качество элементов) дискретизацию объектов, анализируемых в инженерных приложениях.

Как обсуждалось в разделе Извлечение геометрии из медицинских изображений: сегментация при создании биомеханических моделей для конкретного пациента информация о геометрии анализируемого континуума должна быть извлечена (посредством сегментации изображения) из медицинских изображений. Попытки решить эту проблему привели к созданию коммерческих (например, Mimics® biomedical.materialise.com/mimics) и пакетов программного обеспечения с открытым исходным кодом (например, Slicer3D http://www.slicer.org/), которые объединяют алгоритмы сегментации изображений и создания сетки. Несмотря на многообещающие результаты, поиски автоматизированного создания тетраэдрических сеток для конкретных пациентов из медицинских изображений еще далеко от завершения, поскольку сегментация изображений органов с геометрией / анатомией, искаженной болезнью и патологией (например, опухолями), все еще остается проблемой [85] и имеет тенденцию полагаться на опыт аналитика и способность вручную очертить границы различных анатомических структур на изображениях. Методы создания тетраэдрических сеток все еще являются активной темой исследований, о чем свидетельствуют регулярно проводимые семинары Tetrahedron по созданию сеток для численных вычислений [34,75]. Это включает в себя проблемы, отмеченные в более ранних исследованиях автоматического создания сетки, такие как изменение качества элементов в соответствии с используемым методом создания сетки [41] и контроль качества элементов [81,95].

Несмотря на то, что доступны многочисленные автоматизированные генераторы тетраэдрических сеток, и во многих исследованиях такие сетки использовались в качестве метода выбора для индивидуальных расчетных сеток для биомеханических моделей, точность и надежность результатов, полученных с использованием 4-узловых тетраэдрических элементов, не должны приниматься во внимание. как должное. Это связано с тем, что такие элементы демонстрируют искусственную жесткость, известную как объемная блокировка, когда они применяются при моделировании несжимаемых или почти несжимаемых континуумов, таких как мягкие ткани [44]. При наличии объемной фиксации результаты зависят от сетки. К сожалению, этот факт, по-видимому, часто упускается из виду в процессе рецензирования, в результате чего публикуются многие статьи с результатами, потенциально затронутыми объемной блокировкой. Были использованы два типа методов решения проблемы объемного запирания: (1) улучшенные линейные тетраэдрические элементы, использующие ряд контрмер для предотвращения запирания (2) элементы высшего порядка и элементы смешанного состава. Первый включает тетраэдрический элемент среднего узлового давления (ANP) [12] и его усовершенствование Joldes et al. [49], который обеспечивает гораздо лучшие результаты для почти несжимаемых материалов, чем стандартный тетраэдрический элемент, с небольшим увеличением вычислительных затрат.

Тетраэдрические элементы второго порядка с 10 узлами и смешанной формулировкой (вытеснение-давление) легко доступны в коммерческих и открытых кодах конечных элементов. Они эффективны при выполнении объемного запирания, хотя и не устраняют его полностью [79]. Однако стоимость их вычислений как минимум в четыре раза выше, чем у стандартных линейных четырехузловых тетраэдрических элементов. Разница в стоимости еще выше для анализа методом конечных элементов с использованием явного шага по времени. Это может быть ограничивающим фактором, поскольку многие важные приложения, в том числе хирургия под визуальным контролем, требуют, чтобы модели, состоящие из более чем сотни тысяч элементов, решались в реальном времени (на практике за десятки секунд [36]) на стандартном оборудовании.

Недостаточно интегрированные (с использованием количества точек Гаусса меньше, чем требуется для точного пространственного интегрирования с учетом порядка интерполяционного полинома в функциях формы элемента) гексаэдрические элементы не демонстрируют объемной блокировки [24,49] и являются наиболее эффективными, когда Используются явные схемы интегрирования по времени [89,90]. Однако, несмотря на десятилетия интенсивных усилий, не существует доступных алгоритмов автоматического построения гексаэдральной сетки, которые работали бы для сложных форм, которые обычно встречаются при моделировании человеческих органов. Гексаэдрическая сетка особенно сложна, когда опухоль и другие патологии влияют на анатомию пациента [87]. Ручное или полуручное [37] создание трехмерной гексаэдрической сетки, хотя часто является высокоточным методом, требует значительного времени и усилий оператора. Следовательно, для этого типа сетки редко сообщается об уточнении сетки и исследованиях сходимости.

Были предложены различные автоматизированные методы построения гексаэдрической сетки, такие как штукатурка [11], плетение усов [83], центроидальная мозаика Вороного [43] и методы на основе октодерева [45,63,94,95]. Хотя такие методы позволяют создавать сетки высокого качества, контроль размеров элементов остается сложной задачей. Они требуют существенного уровня технических знаний и опыта от аналитика, строящего гексаэдральные сетки для конкретных пациентов - важное ограничение в клинических приложениях, где пользователи являются медицинскими специалистами, а не специалистами по конечным элементам и информатике.

39.2.3 Изображение как модель вычислительной биомеханики: бессеточная дискретизация

Генерация сетки составляет основную часть времени на настройку задачи (рис. 39.2). Это особенно верно для построения анатомической шестигранной сетки конечных элементов. Например, Атешян и др. [1] заявили, что процесс создания модели FE суставного контакта для конкретного пациента из данных изображения компьютерной артрографии (CTA) занимает более 100 часов для сегментации и создания сетки. Даже когда создается сетка хорошего качества, метод решения КЭ часто дает сбой в случае больших деформаций из-за таких проблем, как инверсия элементов. Моделирование расслоения ткани также затруднено, так как в процессе моделирования разрыва создаются мелкие элементы плохой формы [84].

Бессеточные методы вычислительной механики признаны одним из возможных решений некоторых из этих проблем [26,42,47,48,53,92]. В бессеточных методах интерполяция переменных поля строится по неструктурированному «облаку» узлов, разбросанных в пределах области задачи и на ее границе, с пространственным интегрированием, проводимым по сетке фоновых ячеек интегрирования, которые не должны соответствовать границе области проанализировал континуум [42]. Такие облака и сетки несравнимо легче создавать, чем сетки конечных элементов.

Чтобы в полной мере использовать преимущества бессеточной дискретизации и открытого пути для автоматического создания моделей для конкретных пациентов из медицинских изображений, нам необходим подход, который позволил бы нам различать различные типы тканей, изображенных на изображении, без сегментации. Такой подход был предложен в предыдущих исследованиях, проведенных в лаборатории интеллектуальных систем для медицины Университета Западной Австралии, в которых сегментация была заменена нечеткой классификацией тканей (рис. 39.3, правый столбец). При классификации нечетких тканей поверхности не создаются, поскольку свойства материала назначаются на основе интенсивности изображения непосредственно в точках интегрирования (рис. 39.3). Этот процесс подробно описан в Zhang et al. [93], Ли и др. [57] и Ли и др. [58]. Хотя нечеткая классификация тканей может немного снизить точность расчета напряжений, проверка, проведенная Zhang et al. [93] показали, что общая точность мало влияет на различия между результатами бессеточных и конечно-элементных расчетов деформаций мозга всего до 0,6 мм. Поскольку разрешение интраоперационной МРТ обычно составляет порядка 1 мм × 1 мм × 2,5 мм, эти различия можно рассматривать как незначительные для практических целей. Что наиболее важно, бессеточные вычислительные сетки со свойствами материала, назначенными с использованием нечеткой классификации тканей, становятся более надежными, а весь рабочий процесс моделирования для конкретного пациента упрощается и намного легче автоматизируется (рис. 39.3 и 39.4).

Рисунок 39.3. (A) Модель конечных элементов мозга для конкретного пациента с геометрией паренхимы, опухоли (красный) и желудочка (синий), полученная с помощью сегментации МРТ. Обратите внимание на четко определенные границы между паренхимой, опухолью и желудочками. (B) Модель того же мозга без сетки, созданная с использованием нечеткой классификации тканей без поверхностей (границ), явно разделяющих паренхиму, опухоль и желудочки. Нечеткие функции принадлежности, которые описывают вероятность принадлежности данной точки интеграции паренхиме, опухоли и желудочкам, обозначены красным для опухоли и синим для желудочков. Узлы поддержки показаны зелеными кружками. По материалам Zhang et al. [93].

Рисунок 39.4. Сравнение традиционного построения модели вычислительной биомеханики для конкретного пациента с использованием сегментации изображений для определения геометрии органов и дискретизации конечных элементов (левый столбец) и автоматизированного процесса, который использует нечеткую классификацию тканей и бессеточную дискретизацию (правый столбец). "ДО Н.Э." обозначает граничные условия. По материалам Zhang et al. [93].

Бессеточные методы предлагают перспективу автоматизированного создания расчетных сеток для конкретных пациентов непосредственно из медицинских изображений, а их надежность при обработке больших деформаций превосходит метод конечных элементов [7,48,59,60]. Однако в литературе отмечены важные недостатки бессеточных методов, которые не позволяют использовать их неспециалистами в клинической среде:

Невозможность создания функций формы для произвольных сеток. Могут использоваться только «допустимые распределения узлов» [22]. Пользователь должен обладать достаточными знаниями и опытом, чтобы понимать, что представляет собой «допустимая» сетка и какие модификации необходимы, если сетка не является «допустимой».

Отсутствие теоретических границ погрешности численного интегрирования из-за неполиномиального характера подынтегральных выражений. Без строго установленных границ ошибок методы решения не могут использоваться в чувствительных приложениях, таких как вычислительная биомеханика в медицине.

Недавние разработки бессеточных алгоритмов [48] в значительной степени устранили эти недостатки и сделали бессеточные методы еще более подходящими для приложений вычислительной биомеханики, ориентированных на конкретного пациента. Они включают модифицированное приближение методом наименьших квадратов, которое может обрабатывать почти произвольные узловые распределения без потери точности [22], алгоритмы для эффективного и точного наложения заданных смещений на границу (проблема, называемая в вычислительной механике наложением основных граничных условий) [51 ] и адаптивная интеграция, которая распределяет точки интегрирования для достижения точности, указанной пользователем [54]. Хотя эти разработки не устраняют потребность в общих знаниях вычислительной механики при применении бессеточных методов при создании моделей вычислительной биомеханики для конкретных пациентов, они позволяют использовать такие методы в качестве инструментов без необходимости опыта в конкретных бессеточных алгоритмах.


2 ответа 2

Единственными минимальными поверхностями вращения вокруг оси $ x $ являются плоская плоскость (ортогональная оси) и катеноид. Плоскость действительно пересекает ось, катеноид просто нет. Это жизнь. Катеноид можно перемещать и масштабировать без потери минимальности. Между тем, он физически устойчив только для ограниченного подмножества. Если мы возьмем два одинаковых круга из проволоки и окунем их в мыльный раствор так, чтобы между ними образовалась полая трубка из мыльной пленки, то круги (если они будут соосными) могут быть разделены только примерно на 2/3 длины. диаметр кружков. Еще больше разделения, и мыльная пленка выскочит.


Наименьшее положительное собственное значение и длина кратчайшей геодезической

Меня смущают некоторые вещи, касающиеся длин геодезических на римановых поверхностях и положительных собственных значений лапласиана. Более того, меня также интересует связь между этими двумя.

Пусть $ X $ - компактная (связная) риманова поверхность рода $ g geq 2 $.

Поскольку комплексная верхняя полуплоскость $ mathfrak$ - универсальное покрытие $ X $, то есть $ X $ наследует структуру риманова многообразия от $ mathfrak$. Длина кратчайшей геодезической относительно гладкой формы объема на $ X $, индуцированной гиперболической метрикой, обозначенной $ ell_X $, в этом случае корректно определена. Пусть $ lambda_X $ - наименьшее положительное собственное значение оператора Лапласа на $ L ^ 2 (X) $.

Вопрос. Какая связь между $ ell_X $ и $ lambda_X $? Есть какая-то переписка?

Теперь предположим, что $ b_1, ldots, b_n $ - точки в $ X $. Тогда $ X $ - это компактификация частного $ G backslash mathfrak = X обратная косая черта $, добавив `` куспиды '' $ b_1, ldots, b_n $. (Обратите внимание, что $ G backslash mathfrak$ наследует структуру риманова многообразия от $ mathfrak$.) В этом случае кратчайшей геодезической на $ X $ не существует (из-за существования точек возврата). Пусть $ lambda_G $ - наименьшее положительное собственное значение оператора Лапласа на $ L ^ 2 (G backslash mathfrak$.


Поверхность¶

gmt поверхность [ стол ] -ГРАММ outputfile.nc приращение область [ соотношение сторон|м ] [ -C конвергенция_лимит[%] ] [ -L лниже ] [ -Luверхний ] [ -M max_radius ] [ -N max_iterations ] [ -Q ] [ -S search_radius[м|s] ] [ -T [я|б]Voltage_factor ] [ -V [уровень] ] [ -Z over-Relax_factor ] [ флаги] [ -bi двоичный] [ -ди нет данных ] [ -e регулярное выражение] [ -f флаги] [ -час заголовки] [ флаги] [ reg] [ -:[я|о] ] [ & # 8211PAR=ценить ]

Примечание: Пробелы между флагом опции и соответствующими аргументами не допускаются.


Локализация характерной точки (субпиксельная локализация)

Эта часть в основном взята из статьи Н. Кэмпбелла.
После шага 1 мы обнаруживаем некоторые ключевые точки, которые грубо локализованы, в лучшем случае до ближайшего пикселя, в зависимости от того, где были обнаружены функции в масштабном пространстве. Они также плохо локализованы в масштабе, поскольку σ квантуется на относительно небольшое количество шагов в масштабном пространстве. Второй этап в алгоритме SIFT уточняет расположение этих точек характеристик до субпиксельной точности, одновременно удаляя любые плохие характеристики. Локализация субпикселя выполняется путем подбора разложения Тейлора для соответствия трехмерной квадратичной поверхности (по x, y и σ) локальной области для интерполяции максимумов или минимумов. Пренебрегая членами над квадратичным членом, расширение DoG дается ниже, где производные оцениваются в предложенной точке z0 = [x0, y0, σ0] T и z = [δx, δy, δσ] T - смещение от эта точка.

Затем определяется положение экстремума zˆ, полагая производную по z равной нулям:

Параметры могут быть оценены с использованием аппроксимации стандартной разности из соседних точек выборки в DoG, что приводит к линейной системе 3 × 3, которая может быть решена эффективно. Этот процесс может потребоваться выполнять итеративно, поскольку, если какое-либо из вычисленных значений смещения перемещается более чем на половину пикселя, возникает необходимость в повторной оценке z ^, поскольку соответствующая окрестность для аппроксимации изменится. Точки, которые не сходятся быстро, отбрасываются как нестабильные.
Значение в локализованном экстремуме может быть интерполировано,

и любые точки со значением ниже определенного порога отклоняются как точки с низким контрастом.
Заключительный тест выполняется для удаления любых элементов, расположенных по краям изображения, поскольку они будут иметь двусмысленность, если они будут использоваться для целей сопоставления. Пик, расположенный на гребне в DoG (который соответствует краю на изображении), будет иметь большую принципиальную кривизну поперек гребня и низкую вместе с ним, тогда как четко определенный пик (капля) будет иметь большую принципиальную кривизну в обоих направлениях. Гессен ЧАС по x и y

оценивается для характерной точки, снова с использованием приближения локальной разности, и отношения собственных значений λ1 и λ2, которые соответствуют основным кривизнам, по сравнению с пороговым отношением r, как в

и баллы с высоким коэффициентом отклонены.
Это немного похоже на Харриса, который заботится о производном распределении области вокруг выбранной точки. (Вы можете получить дополнительную информацию из этого pdf-файла)

Однако собственные значения гессиана ЧАС соответствуют основным кривизнам. Так как?

Этот PDF-файл дает прекрасное объяснение.
Предположим, что у нас есть поверхность M в R³, заданная графиком гладкой функции z = f (x, y). Предположим, что M проходит через начало координат p и его касательную плоскость существует самолет (это почти верно для обнаруженной капли, подумайте о подсолнухах). Пусть N = (0,0,1), единичная нормаль к M в точке p.

Пусть v - единичный вектор в TpM, скажем, v = (v1, v2,0). Пусть c будет параметризованной кривой, полученной путем сечения M через плоскость, натянутую на v и N:

Теперь мы можем вычислить кривизну c вдоль направления v = (v1, v2,0). κv - это величина, обратная радиусу соприкасающегося круга к c в точке p.

Главные кривизны поверхности в точке p будут наибольшими и наименьшими возможными значениями λ1, λ2 κv (поскольку v пробегает возможные единичные касательные векторы). Если вы не понимаете этого аргумента, вы можете посмотреть отличный блог о PCA.


Часто задаваемые вопросы

Состояние батареи отображается в нескольких местах:

Экран блокировки: Когда вы выводите Surface из спящего режима, в правом нижнем углу экрана блокировки появляется значок батареи.

Панель задач рабочего стола: Состояние батареи отображается в правой части панели задач. Выберите значок аккумулятора, чтобы получить информацию о заряде и состоянии аккумулятора, включая процент заряда и оставшееся время.

Ваш Surface предупреждает вас, когда батарея разряжается. Если вы не зарядите аккумулятор при появлении этого предупреждения, Surface в конечном итоге сохранит вашу работу и выключится.

Пока Surface заряжается, светодиодный индикатор на конце разъема для зарядки блока питания горит, показывая, что Surface получает питание, а на значке батареи отображается электрическая вилка. Выберите значок батареи, чтобы узнать, сколько времени должно пройти до полной зарядки устройства. Появление этой оценки может занять минуту.

Если светодиодный индикатор не горит или значок аккумулятора не показывает, что аккумулятор заряжается (на значке не отображается электрическая вилка), см. Раздел Аккумулятор Surface не заряжается или Surface не работает от аккумулятора. .

Если ваш Surface не заряжается должным образом, на вашем устройстве появится предупреждение «ПК не заряжается» (показано ниже на английском языке).

Убедитесь, что светодиодный индикатор на конце разъема для зарядки блока питания горит. Если это не так, возможно, у вас проблема с источником питания. Дополнительные сведения см. В разделе Что делать, если блок питания или зарядное устройство Surface не работает.

Полная зарядка разряженного аккумулятора может занять несколько часов. Это может занять больше времени, если вы используете Surface для энергоемких задач, таких как игры или потоковое видео, пока вы заряжаете его. Чтобы увидеть примерное время, оставшееся до полной зарядки аккумулятора, щелкните значок аккумулятора в правой части панели задач.

Дополнительная информация о зарядке Surface Book

Батареи в Surface Book также могут заряжаться с разной скоростью в зависимости от уровня заряда каждой батареи. Батарея с зарядом менее 20% будет заряжена первой. После того, как обе батареи будут заряжены до 20%, они заряжаются одновременно.

Информацию о том, как правильно ухаживать за шнуром питания и блоком питания, см. В разделе Чистка Surface и уход за ним.

В приведенной ниже таблице показаны напряжение, ток и ватт, используемые блоками питания для различных моделей Surface. Вот несколько вещей, о которых следует помнить:

Если вы не знаете, какую модель Surface вы используете, выберите Начинать кнопка, тип системная информация, и выберите его из списка результатов. Информация о модели вашего Surface появится рядом с Системная модель. Вы также можете использовать приложение Surface, выбрав Ваша поверхность. Информация о модели указана рядом с SKU.

Номер модели блока питания, поставляемого с Surface, напечатан мелким шрифтом в нижней части устройства.

Порт USB, доступный на некоторых блоках питания, предназначен только для зарядки других устройств во время зарядки Surface и не может использоваться для передачи данных.

Модель блока питания №

15 вольт при 2,6 ампера = 39 ватт

15 вольт @ 8 ампер = 120 ватт

Surface Book 2 13 дюймов (без графического процессора Nvidia)

15 вольт при 2,58 ампера = 39 ватт

Surface Pro (5-го поколения) с LTE Advanced

Surface Book с базой производительности

15 вольт при 6,33 ампера = 95 ватт

Surface Book 2 13 дюймов (с графическим процессором Nvidia)

Surface Book 3 13,5 дюйма (с дискретным графическим процессором Nvidia)

15 вольт при 1,6 ампера = 24 ватта

Surface Pro (5-е поколение) M3 SKU

Surface Go с LTE Advanced

Surface Go 2 с LTE Advanced

Surface Book (с графическим процессором Nvidia)

Surface Book 3 13,5 дюйма (без дискретного графического процессора Nvidia)

12 вольт при 2,58 ампера = 31 ватт

Surface Book (без графического процессора Nvidia)

Некоторые устройства Surface поддерживают быструю зарядку, что позволяет заряжать устройство быстрее. Дополнительные сведения о быстрой зарядке и требованиях к питанию для нее см. В разделе Быстрая зарядка для устройств Surface.

Ток прикосновения, или «ток покалывания», может быть обнаружен некоторыми пользователями устройств, когда незначительное неопасное количество остаточного электрического тока проходит через пользователя при прикосновении к устройству. Ощущение, вызываемое током прикосновения, может варьироваться от ощущения вибрации до легкого покалывания или легкого укола.

Ток прикосновения может быть обнаружен, когда устройство подключено к розетке (сети). Обычно электричество проходит от стенной розетки через устройство и обратно к стенной розетке в короткой замкнутой системе. Ток прикосновения можно заметить, если крошечная часть электрического тока проходит через пользователя, а не возвращается в розетку. Хорошая конструкция устройства и испытания на электрическую безопасность гарантируют, что любой ток прикосновения, проходящий через человека, будет незначительным и безопасным.

Ток прикосновения не возникает при работе устройства от батареи, поскольку источник питания устройства (аккумулятор) и его система питания полностью находятся внутри устройства.

Внутренние стандарты Microsoft для тока прикосновения, которые строже, чем применимые нормативные стандарты, призваны минимизировать восприятие тока прикосновения.

Чтобы просмотреть информацию о безопасности и нормативную информацию для блоков питания Surface и Surface, включая информацию о доставке и безопасности шнура питания переменного тока, см. Информацию о безопасности для устройств Microsoft.

Если вы заинтересованы в приобретении дополнительного блока питания или модернизации блока питания, см. Раздел Источники питания Microsoft Surface в Microsoft Store.

Источники питания Surface предназначены для работы с Surface. Для зарядки аккумулятора мы настоятельно рекомендуем использовать только подлинный источник питания Microsoft или лицензированный Microsoft, который либо прилагался к Surface, либо был приобретен отдельно.


2. Методы

2.1 Параметризация поверхности

Как только двоичная сегментация & # x02133а объекта получается вручную или автоматически, алгоритм марширующих кубов (Lorensen and Cline, 1987) был применен для получения сетки поверхности треугольника & # x02202 & # x02133а. Для взвешенного сферического гармонического представления требуется гладкое отображение поверхностной сетки на единичную сферу. S 2, чтобы установить систему координат. Мы разработали новый алгоритм выравнивания поверхности, основанный на диффузии тепла.

Начнем с добавления сферы большего размера # x02133s который включает двоичный объект & # x02133а. На рисунке 2 показана иллюстрация бинарной сегментации миндалины. Центр сферы & # x02133s принимается как среднее значение координат сетки & # x02202 & # x02133а, образующий поверхностный центр масс. Радиус сферы & # x02133s берется таким образом, чтобы кратчайшее расстояние от сферы до двоичного объекта & # x02133а фиксируется (5 мм для миндалины). На окончательную карту сглаживания определенно влияет возмущение положения сферы, но поскольку мы фиксируем его как центр масс поверхности для всей миндалины, нам не нужно беспокоиться об эффекте возмущения.

(a) Источнику тепла (миндалевидному телу) присваивается значение 1, а радиатору присваивается значение -1. Уравнение диффузии решается с этими граничными условиями. (б) После достаточного количества итераций состояние равновесия ж(Икс,& # x0221e) достигается. (c) Поле градиента & # x02207ж(Икс,& # x0221e) показывает направление распространения тепла от источника к поглотителю. Интегральная кривая градиентного поля вычисляется путем соединения одного набора уровней со следующими наборами уровней ж(Икс,& # x0221e). (d) Уплощение поверхности миндалины выполняется путем отслеживания интегральной кривой в каждой вершине сетки. Цифры c = 1.0, 0.6, & # x022ef, & # x022121.0 соответствуют наборам уровней ж(Икс,& # x0221e) = c. (e) Параметризация поверхности миндалины с помощью углов (& # x003b8, & # x003c6). Смысл & # x003b8 = 0 соответствует северному полюсу единичной сферы.

Бинарный объект & # x02133а присваивается значение 1, в то время как охватывающей сфере присваивается значение -1, т. е.

для всех & # x003c3 & # x02208 [0, & # x0221e). Параметр & # x003c3 время диффузии. & # x02133а и & # x02133s служат соответственно источником тепла и радиатором. Затем решаем изотропную диффузию

с заданным граничным условием (1). & # x00394 - трехмерный лапласиан. Когда & # x003c3 & # x02192 & # x0221e, раствор достигает состояния теплового равновесия, при котором дополнительная диффузия не приводит к изменению распределения тепла. Состояние теплового равновесия также получается, если & # x02202 f & # x02202 & # x003c3 = 0 и решить уравнение Лапласа

с таким же граничным условием. Это приведет к состоянию равновесия, обозначенному ж(Икс, & # x003c3 = & # x0221e). Как только мы достигли состояния равновесия, мы отслеживаем путь от источника тепла до радиатора для каждой вершины сетки на изоповерхности & # x02133а используя градиент теплового равновесия & # x02207ж(Икс,& # x0221e). Подобная формулировка называется Метод уравнения Лапласа был использован для оценки толщины коры, ограниченной внешней и внутренней поверхностями коры, путем установления соответствия между двумя поверхностями путем отслеживания градиента состояния равновесия (Yezzi and Prince, 2001 Jones et al., 2006 Lerch and Evans, 2005).

Градиенты тепла образуют векторные поля, возникающие в источнике тепла и заканчивающиеся у радиатора (рис. 2). Интегральная кривая градиентного поля в вершине сетки п & # x02208 & # x02202 & # x02133а устанавливает гладкое отображение вершины сетки на сферу. Интегральная кривая & # x003c4 получается путем решения системы дифференциальных уравнений

с участием & # x003c4(т = 0) = п. Подход интегральной кривой - это широко используемая формулировка для отслеживания волокон белого вещества с использованием тензоров диффузии (Basser et al., 2000, Lazar et al., 2003). Эти методы основаны на дискретизации дифференциальных уравнений с использованием метода Рунге-Кутта, который требует больших вычислений. Однако мы отказались от метода Рунге-Кутта и решили использовать идею распространения наборов уровней. Вместо прямого вычисления поля градиента & # x02207ж(Икс,& # x0221e), мы вычислили множества уровней ж(Икс,& # x0221e) = c состояния равновесия, соответствующего при варьировании c между -1 и 1. Интегральная кривая затем получается путем нахождения кратчайшего пути от одного набора уровней к следующему набору уровней и соединения их вместе по кусочкам. Это выполняется итеративным способом, как показано на рисунке 2, где пять наборов уровней, соответствующих значениям c = 0,6,0,2, & # x022120.2, & # x022120.6, & # x022121.0 используются для выравнивания поверхности миндалины. Как только мы получили сферическое отображение, мы можем затем спроецировать углы (& # x003b8, & # x003c6) на & # x02202 & # x02133а и два угла служат базовой параметризацией для взвешенного сферического гармонического представления.

Чтобы предложенный метод сглаживания работал, двойной объект должен иметь форму звезды или выпуклый. Для форм с более сложной структурой градиентные линии, соответствующие соседним узлам на поверхности, будут попадать в один воксель в объеме, создавая числовые сингулярности при отображении на сферу. Другие более сложные методы отображения, такие как конформное отображение (Angenent et al., 1999 Gu et al., 2004 Hurdal and Stephenson, 2004), могут избежать этой проблемы, но требуют большего количества цифр. С другой стороны, наш подход проще и эффективнее с точки зрения вычислений, поскольку он работает для ограниченного класса фигур.

2.2 Представление взвешенных сферических гармоник

Параметризованные поверхности миндалины с точки зрения сферических углов & # x003b8, & # x003c6, далее выражаются с использованием взвешенного представления сферических гармоник (Chung et al., 2007), которое выражает функции координат поверхности как взвешенную линейную комбинацию сферических гармоник. Процедура автоматического выбора степени также была представлена ​​в предыдущей работе, но для полноты нашей статьи метод кратко объясняется в разделе 2.3.


Поверхность¶

gmt поверхность [ стол ] -ГРАММ outputfile.nc приращение область [ соотношение сторон|м ] [ -C конвергенция_лимит[%] ] [ -L лниже ] [ -Luверхний ] [ -M max_radius ] [ -N max_iterations ] [ -Q ] [ -S search_radius[м|s] ] [ -T [я|б]Voltage_factor ] [ -V [уровень] ] [ -Z over-Relax_factor ] [ флаги] [ -bi двоичный] [ -ди нет данных ] [ -e регулярное выражение] [ -f флаги] [ -час заголовки] [ флаги] [ reg] [ -:[я|о] ] [ & # 8211PAR=ценить ]

Примечание: Пробелы между флагом опции и соответствующими аргументами не допускаются.


Часто задаваемые вопросы

Состояние батареи отображается в нескольких местах:

Экран блокировки: Когда вы выводите Surface из спящего режима, в правом нижнем углу экрана блокировки появляется значок батареи.

Панель задач рабочего стола: Состояние батареи отображается в правой части панели задач. Выберите значок аккумулятора, чтобы получить информацию о заряде и состоянии аккумулятора, включая процент заряда и оставшееся время.

Ваш Surface предупреждает вас, когда батарея разряжается. Если вы не зарядите аккумулятор при появлении этого предупреждения, Surface в конечном итоге сохранит вашу работу и выключится.

Пока Surface заряжается, светодиодный индикатор на конце разъема для зарядки блока питания горит, показывая, что Surface получает питание, а на значке батареи отображается электрическая вилка. Выберите значок батареи, чтобы узнать, сколько времени должно пройти до полной зарядки устройства. Появление этой оценки может занять минуту.

Если светодиодный индикатор не горит или значок аккумулятора не показывает, что аккумулятор заряжается (на значке не отображается электрическая вилка), см. Раздел Аккумулятор Surface не заряжается или Surface не работает от аккумулятора. .

Если ваш Surface не заряжается должным образом, на вашем устройстве появится предупреждение «ПК не заряжается» (показано ниже на английском языке).

Убедитесь, что светодиодный индикатор на конце разъема для зарядки блока питания горит. Если это не так, возможно, у вас проблема с источником питания. Дополнительные сведения см. В разделе Что делать, если блок питания или зарядное устройство Surface не работает.

Полная зарядка разряженного аккумулятора может занять несколько часов. Это может занять больше времени, если вы используете Surface для энергоемких задач, таких как игры или потоковое видео, пока вы заряжаете его. Чтобы увидеть примерное время, оставшееся до полной зарядки аккумулятора, щелкните значок аккумулятора в правой части панели задач.

Дополнительная информация о зарядке Surface Book

Батареи в Surface Book также могут заряжаться с разной скоростью в зависимости от уровня заряда каждой батареи. Батарея с зарядом менее 20% будет заряжена первой. После того, как обе батареи будут заряжены до 20%, они заряжаются одновременно.

Информацию о том, как правильно ухаживать за шнуром питания и блоком питания, см. В разделе Чистка Surface и уход за ним.

В приведенной ниже таблице показаны напряжение, ток и ватт, используемые блоками питания для различных моделей Surface. Вот несколько вещей, о которых следует помнить:

Если вы не знаете, какую модель Surface вы используете, выберите Начинать кнопка, тип системная информация, и выберите его из списка результатов. Информация о модели вашего Surface появится рядом с Системная модель. Вы также можете использовать приложение Surface, выбрав Ваша поверхность. Информация о модели указана рядом с SKU.

Номер модели блока питания, поставляемого с Surface, напечатан мелким шрифтом в нижней части устройства.

Порт USB, доступный на некоторых блоках питания, предназначен только для зарядки других устройств во время зарядки Surface и не может использоваться для передачи данных.

Модель блока питания №

15 вольт при 2,6 ампера = 39 ватт

15 вольт @ 8 ампер = 120 ватт

Surface Book 2 13 дюймов (без графического процессора Nvidia)

15 вольт при 2,58 ампера = 39 ватт

Surface Pro (5-го поколения) с LTE Advanced

Surface Book с базой производительности

15 вольт при 6,33 ампера = 95 ватт

Surface Book 2 13 дюймов (с графическим процессором Nvidia)

Surface Book 3 13,5 дюйма (с дискретным графическим процессором Nvidia)

15 вольт при 1,6 ампера = 24 ватта

Surface Pro (5-е поколение) M3 SKU

Surface Go с LTE Advanced

Surface Go 2 с LTE Advanced

Surface Book (с графическим процессором Nvidia)

Surface Book 3 13,5 дюйма (без дискретного графического процессора Nvidia)

12 вольт при 2,58 ампера = 31 ватт

Surface Book (без графического процессора Nvidia)

Некоторые устройства Surface поддерживают быструю зарядку, что позволяет заряжать устройство быстрее. Дополнительные сведения о быстрой зарядке и требованиях к питанию для нее см. В разделе Быстрая зарядка для устройств Surface.

Ток прикосновения, или «ток покалывания», может быть обнаружен некоторыми пользователями устройств, когда незначительное неопасное количество остаточного электрического тока проходит через пользователя при прикосновении к устройству. Ощущение, вызываемое током прикосновения, может варьироваться от ощущения вибрации до легкого покалывания или легкого укола.

Ток прикосновения может быть обнаружен, когда устройство подключено к розетке (сети). Обычно электричество проходит от стенной розетки через устройство и обратно к стенной розетке в короткой замкнутой системе. Ток прикосновения можно заметить, если крошечная часть электрического тока проходит через пользователя, а не возвращается в розетку. Хорошая конструкция устройства и испытания на электрическую безопасность гарантируют, что любой ток прикосновения, проходящий через человека, будет незначительным и безопасным.

Ток прикосновения не возникает при работе устройства от батареи, поскольку источник питания устройства (аккумулятор) и его система питания полностью находятся внутри устройства.

Внутренние стандарты Microsoft для тока прикосновения, которые строже, чем применимые нормативные стандарты, призваны минимизировать восприятие тока прикосновения.

Чтобы просмотреть информацию о безопасности и нормативную информацию для блоков питания Surface и Surface, включая информацию о доставке и безопасности шнура питания переменного тока, см. Информацию о безопасности для устройств Microsoft.

Если вы заинтересованы в приобретении дополнительного блока питания или модернизации блока питания, см. Раздел Источники питания Microsoft Surface в Microsoft Store.

Источники питания Surface предназначены для работы с Surface. Для зарядки аккумулятора мы настоятельно рекомендуем использовать только подлинный источник питания Microsoft или лицензированный Microsoft, который либо прилагался к Surface, либо был приобретен отдельно.


Методы

Данные, использованные при подготовке этой работы, были получены и предоставлены проектом Human Connectome Project (HCP), консорциумом WU-Minn (главные исследователи: Дэвид Ван Эссен и Камил Угурбил 1U54MH091657), который финансируется 16 институтами и центрами NIH. поддержка проекта NIH для исследований в области нейробиологии и Центра системной нейробиологии им. Макдоннелла при Вашингтонском университете. Мы используем данные МРТ и DTI 10 не связанных между собой субъектов (шесть женщин, возраст 22–35), предоставленные HCP, консорциумом WU-Minn, доступные на https://db.humanconnectome.org/data/projects/HCP_500. Все наборы данных МРТ и DTI были предварительно обработаны в соответствии с минимальными рекомендациями по предварительной обработке протокола HCP, и никакой дополнительной предварительной обработки не выполнялось.

Для количественной оценки сетей состояния покоя (RSN) мы используем разбиение коры головного мозга на семь сетей (режим по умолчанию, контроль, дорсальное внимание, вентральное внимание, зрительные, лимбические и сомато-моторные сети), идентифицированных по внутренним функциональным сетям 1000 испытуемых. данные о подключении 27, доступны на http://surfer.nmr.mgh.harvard.edu/fswiki/CorticalParcellation_Yeo2011.

Рабочий процесс

По данным T1-взвешенной МРТ каждого испытуемого (разрешение 0,7 мм) мы реконструируем корковые поверхности, разделяющие белое и серое вещество, называемые поверхностью белого вещества в остальной части рукописи, а также серое вещество и спинномозговую жидкость. , называемая поверхностью серого вещества в остальной части рукописи, отдельно для каждого полушария с использованием программного обеспечения Freesurfer http://freesurfer.net. Мы регистрируем каждую кортикальную поверхность на 1000 субъектов средней кортикальной поверхности данных кортикальной парцелляции (в остальной части рукописи упоминается как средний субъект, представленный 20 484 вершинами), чтобы обеспечить возможность сравнения вершин между вершинами. коннектомные гармоники и 1000 предметных усредненных эталонов сетей в состоянии покоя.

Из данных DTI каждого субъекта (разрешение 1,25 мм) мы извлекаем корково-корковые и таламо-кортикальные волокна белого вещества, применяя алгоритм детерминированной трактографии 60 с использованием реализации MATLAB лаборатории Vista Lab, Стэнфордский университет http: //white.stanford .edu / newlm / index.php / MrDiffusion. После регистрации данных DTI и корковой поверхности каждого субъекта мы инициализируем семена для трактографии на корковой поверхности, разделяющей белое и серое вещество. Сосредоточившись вокруг каждой вершины (узла) - всего 20 484 - мы инициализируем восемь семян и выполняем трактографию со следующими параметрами: порог фракционной анизотропии 0,3, то есть фракционная анизотропия & lt0,3 является критерием завершения отслеживания, минимальная длина тракта 20 мм. , и максимальный угол между двумя смежными шагами отслеживания 30 °.

Графическое представление коннектома человека

Графическое представление коннектома человека формируется путем представления вершин, отобранных с поверхности серого вещества, узлами с п общее количество узлов (20 484 в этом исследовании) и включение локальных и дальних связей между вершинами в качестве ребер графа. Таким образом, локальные связи соответствуют связям вершин на корковой поверхностной сетке (шесть связей на вершину с их ближайшими соседями), а дальнодействующие связи определяются кортико-кортикальными и таламо-кортикальными волокнами белого вещества. С этой целью ближайшая вершина каждой конечной точки волокна идентифицируется на кортикальной поверхности серого вещества, и для каждого тракта волокна добавляется дальнодействующая связь между двумя вершинами. В этом исследовании мы используем неориентированное, невзвешенное представление графа, приводящее к следующей матрице смежности:

Важно отметить, что эта графическая модель коннектома человека отличается от предыдущих исследований 10,12, в которых каждый узел представляет одну корковую область, полученную путем определенного разделения коры головного мозга, а края обозначают плотность волокон между корковыми областями. . В отличие от предыдущих графических моделей коннектома человека, конкретное представление, используемое в нашем исследовании, близко аппроксимирует непрерывную форму коры головного мозга человека из-за однородной и плотной выборки вершин (узлов) с непрерывной корковой поверхности серого вещества.

Коннектомный лапласиан и коннектомные гармоники

Учитывая графическое представление коннектома человека, мы вычисляем лапласиан симметричного графа на графе коннектома, чтобы оценить дискретный аналог оператора Лапласа 23,45 Δ, примененный к коннектому человека, лапласиану коннектома, как:

где матрица смежности А определено в уравнении (1) и

обозначает матрицу степеней графа. Затем мы вычисляем гармоники коннектома, j ∈ <1, ⋯ , п> путем решения следующей задачи на собственные значения:

с участием λj, j ∈ <1, ⋯ , п> - соответствующие собственные значения.

Модель нейронного поля

Позволять E(Икс, т) а также я(Икс, т) соответствуют активности, то есть локальным пространственно-временным средним мембранным потенциалам возбуждающих и тормозных нейронов в кортикальном месте в момент времени. т. Следуя уравнениям Уилсона-Коуэна 30,35, временная эволюция частот возбуждающих и тормозных нервных импульсов удовлетворяет следующим нелинейным дифференциальным уравнениям 35:

где `` и обозначают операторы диффузии (пространственного распространения) возбуждающих (E) и ингибирующая активность (я), каждый по отдельности действующий на возбуждающую и тормозящую популяции с именами (EE, IE) и (EI, II) соответственно. Здесь S обозначает сигмоидальную функцию активации,

а также τs - характерный временной масштаб системы. Мы расширяем уравнения Вильсона-Коуэна на полную структурную связность таламо-кортикальной системы, добавляя лапласиан коннектома к условиям диффузии (пространственного распространения) (дополнительные примечания 1 и 2).

Липуновская устойчивость

Мы проверяем устойчивость модели нейронного поля к возмущениям с помощью анализа устойчивости по Ляпунову 50. Этот метод включает в себя возмущение системы в какое-то время. т* и наблюдение за тем, сходится ли возмущенная система к исходной системе. В этом случае систему можно назвать устойчивой по Ляпунову. Поскольку модель нейронного поля является колебательной для рассматриваемых нами наборов параметров, мы должны определить меру, которая определяет расстояние между двумя состояниями. Сначала мы возмущаем систему по отдельности 10 раз белым шумом за время т*. Затем мы берем абсолютное значение разницы в каждом узле на каждом временном шаге и берем максимальную разницу. Это известно как L-infinity norm и обычно используется в анализе устойчивости, поскольку он рассматривает наихудший случай, а не средний случай. На каждом временном шаге мы сравниваем все различия между 10 возмущенными системами и снова берем наихудший случай. Это количество определяется как L(т). Наносим меру расстояния L(т) с течением времени и понаблюдайте, L(т) → 0 или L(т)→ɛ с участием ɛ≈0. На рис. 5 (а) мы видим, что L(т)→ɛ и ограничен, демонстрируя устойчивость модели нейронного поля к шумовым возмущениям.


Алгоритм

Вопреки тому, что я думал изначально, реализация линейной регрессии в scikit-learn минимизирует функцию затрат в форме:

используя сингулярное разложение X.

Если вы уже знакомы с линейной регрессией, вы можете увидеть некоторое сходство с предыдущим уравнением и среднеквадратичной ошибкой (MSE).

В качестве быстрого напоминания предположим, что у нас есть следующий график рассеяния и линия регрессии.

Мы вычисляем расстояние от линии до заданной точки данных, вычитая одно из другого. Мы возьмем квадрат разницы, потому что мы не хотим, чтобы прогнозируемые значения ниже фактических значений компенсировались значениями выше фактических. Математически последнее можно выразить следующим образом:

Функция стоимости, используемая в библиотеке scikit-learn, аналогична, только мы вычисляем ее одновременно с использованием матричных операций.

Те из вас, кто прошел курс математического анализа, наверняка уже сталкивались с подобными обозначениями раньше.

В этом случае, Икс - вектор, и мы вычисляем его величину.

В том же смысле, когда мы окружаем переменную для матрицы (т.е.A) вертикальными полосами мы говорим, что хотим перейти от матрицы строк и столбцов к скаляру. Есть несколько способов получить скаляр из матрицы. В зависимости от того, какой из них используется, вы увидите другой символ справа от переменной (дополнительные 2 в уравнении не были добавлены случайно).

Дополнительные 2 подразумевают, что мы берем евклидову норму матрицы.

Предположим, у нас есть матрица A, евклидова норма матрицы A равна квадратному корню из наибольшего собственного значения транспонированной точки A. Для ясности давайте рассмотрим пример.


2. Методы

2.1 Параметризация поверхности

Как только двоичная сегментация & # x02133а объекта получается вручную или автоматически, алгоритм марширующих кубов (Lorensen and Cline, 1987) был применен для получения сетки поверхности треугольника & # x02202 & # x02133а. Для взвешенного сферического гармонического представления требуется гладкое отображение поверхностной сетки на единичную сферу. S 2, чтобы установить систему координат. Мы разработали новый алгоритм выравнивания поверхности, основанный на диффузии тепла.

Начнем с добавления сферы большего размера # x02133s который включает двоичный объект & # x02133а. На рисунке 2 показана иллюстрация бинарной сегментации миндалины. Центр сферы & # x02133s принимается как среднее значение координат сетки & # x02202 & # x02133а, образующий поверхностный центр масс. Радиус сферы & # x02133s берется таким образом, чтобы кратчайшее расстояние от сферы до двоичного объекта & # x02133а фиксируется (5 мм для миндалины). На окончательную карту сглаживания определенно влияет возмущение положения сферы, но поскольку мы фиксируем его как центр масс поверхности для всей миндалины, нам не нужно беспокоиться об эффекте возмущения.

(a) Источнику тепла (миндалевидному телу) присваивается значение 1, а радиатору присваивается значение -1. Уравнение диффузии решается с этими граничными условиями. (б) После достаточного количества итераций состояние равновесия ж(Икс,& # x0221e) достигается. (c) Поле градиента & # x02207ж(Икс,& # x0221e) показывает направление распространения тепла от источника к поглотителю. Интегральная кривая градиентного поля вычисляется путем соединения одного набора уровней со следующими наборами уровней ж(Икс,& # x0221e). (d) Уплощение поверхности миндалины выполняется путем отслеживания интегральной кривой в каждой вершине сетки. Цифры c = 1.0, 0.6, & # x022ef, & # x022121.0 соответствуют наборам уровней ж(Икс,& # x0221e) = c. (e) Параметризация поверхности миндалины с помощью углов (& # x003b8, & # x003c6). Смысл & # x003b8 = 0 соответствует северному полюсу единичной сферы.

Бинарный объект & # x02133а присваивается значение 1, в то время как охватывающей сфере присваивается значение -1, т. е.

для всех & # x003c3 & # x02208 [0, & # x0221e). Параметр & # x003c3 время диффузии. & # x02133а и & # x02133s служат соответственно источником тепла и радиатором. Затем решаем изотропную диффузию

с заданным граничным условием (1). & # x00394 - трехмерный лапласиан. Когда & # x003c3 & # x02192 & # x0221e, раствор достигает состояния теплового равновесия, при котором дополнительная диффузия не приводит к изменению распределения тепла. Состояние теплового равновесия также получается, если & # x02202 f & # x02202 & # x003c3 = 0 и решить уравнение Лапласа

с таким же граничным условием. Это приведет к состоянию равновесия, обозначенному ж(Икс, & # x003c3 = & # x0221e). Как только мы достигли состояния равновесия, мы отслеживаем путь от источника тепла до радиатора для каждой вершины сетки на изоповерхности & # x02133а используя градиент теплового равновесия & # x02207ж(Икс,& # x0221e). Подобная формулировка называется Метод уравнения Лапласа был использован для оценки толщины коры, ограниченной внешней и внутренней поверхностями коры, путем установления соответствия между двумя поверхностями путем отслеживания градиента состояния равновесия (Yezzi and Prince, 2001 Jones et al., 2006 Lerch and Evans, 2005).

Градиенты тепла образуют векторные поля, возникающие в источнике тепла и заканчивающиеся у радиатора (рис. 2). Интегральная кривая градиентного поля в вершине сетки п & # x02208 & # x02202 & # x02133а устанавливает гладкое отображение вершины сетки на сферу. Интегральная кривая & # x003c4 получается путем решения системы дифференциальных уравнений

с участием & # x003c4(т = 0) = п. Подход интегральной кривой - это широко используемая формулировка для отслеживания волокон белого вещества с использованием тензоров диффузии (Basser et al., 2000, Lazar et al., 2003). Эти методы основаны на дискретизации дифференциальных уравнений с использованием метода Рунге-Кутта, который требует больших вычислений. Однако мы отказались от метода Рунге-Кутта и решили использовать идею распространения наборов уровней. Вместо прямого вычисления поля градиента & # x02207ж(Икс,& # x0221e), мы вычислили множества уровней ж(Икс,& # x0221e) = c состояния равновесия, соответствующего при варьировании c между -1 и 1. Интегральная кривая затем получается путем нахождения кратчайшего пути от одного набора уровней к следующему набору уровней и соединения их вместе по кусочкам. Это выполняется итеративным способом, как показано на рисунке 2, где пять наборов уровней, соответствующих значениям c = 0,6,0,2, & # x022120.2, & # x022120.6, & # x022121.0 используются для выравнивания поверхности миндалины. Как только мы получили сферическое отображение, мы можем затем спроецировать углы (& # x003b8, & # x003c6) на & # x02202 & # x02133а и два угла служат базовой параметризацией для взвешенного сферического гармонического представления.

Чтобы предложенный метод сглаживания работал, двойной объект должен иметь форму звезды или выпуклый. Для форм с более сложной структурой градиентные линии, соответствующие соседним узлам на поверхности, будут попадать в один воксель в объеме, создавая числовые сингулярности при отображении на сферу. Другие более сложные методы отображения, такие как конформное отображение (Angenent et al., 1999 Gu et al., 2004 Hurdal and Stephenson, 2004), могут избежать этой проблемы, но требуют большего количества цифр. С другой стороны, наш подход проще и эффективнее с точки зрения вычислений, поскольку он работает для ограниченного класса фигур.

2.2 Представление взвешенных сферических гармоник

Параметризованные поверхности миндалины с точки зрения сферических углов & # x003b8, & # x003c6, далее выражаются с использованием взвешенного представления сферических гармоник (Chung et al., 2007), которое выражает функции координат поверхности как взвешенную линейную комбинацию сферических гармоник. Процедура автоматического выбора степени также была представлена ​​в предыдущей работе, но для полноты нашей статьи метод кратко объясняется в разделе 2.3.


Наименьшее положительное собственное значение и длина кратчайшей геодезической

Меня смущают некоторые вещи, касающиеся длин геодезических на римановых поверхностях и положительных собственных значений лапласиана. Более того, меня также интересует связь между этими двумя.

Пусть $ X $ - компактная (связная) риманова поверхность рода $ g geq 2 $.

Поскольку комплексная верхняя полуплоскость $ mathfrak$ - универсальное покрытие $ X $, то есть $ X $ наследует структуру риманова многообразия от $ mathfrak$. Длина кратчайшей геодезической относительно гладкой формы объема на $ X $, индуцированной гиперболической метрикой, обозначенной $ ell_X $, в этом случае корректно определена. Пусть $ lambda_X $ - наименьшее положительное собственное значение оператора Лапласа на $ L ^ 2 (X) $.

Вопрос. Какая связь между $ ell_X $ и $ lambda_X $? Есть какая-то переписка?

Теперь предположим, что $ b_1, ldots, b_n $ - точки в $ X $. Тогда $ X $ - это компактификация частного $ G backslash mathfrak = X обратная косая черта $, добавив `` куспиды '' $ b_1, ldots, b_n $. (Обратите внимание, что $ G backslash mathfrak$ наследует структуру риманова многообразия от $ mathfrak$.) В этом случае кратчайшей геодезической на $ X $ не существует (из-за существования точек возврата). Пусть $ lambda_G $ - наименьшее положительное собственное значение оператора Лапласа на $ L ^ 2 (G backslash mathfrak$.


Локализация характерной точки (субпиксельная локализация)

Эта часть в основном взята из статьи Н. Кэмпбелла.
После шага 1 мы обнаруживаем некоторые ключевые точки, которые грубо локализованы, в лучшем случае до ближайшего пикселя, в зависимости от того, где были обнаружены функции в масштабном пространстве. Они также плохо локализованы в масштабе, поскольку σ квантуется на относительно небольшое количество шагов в масштабном пространстве. Второй этап в алгоритме SIFT уточняет расположение этих точек характеристик до субпиксельной точности, одновременно удаляя любые плохие характеристики. Локализация субпикселя выполняется путем подбора разложения Тейлора для соответствия трехмерной квадратичной поверхности (по x, y и σ) локальной области для интерполяции максимумов или минимумов. Пренебрегая членами над квадратичным членом, расширение DoG дается ниже, где производные оцениваются в предложенной точке z0 = [x0, y0, σ0] T и z = [δx, δy, δσ] T - смещение от эта точка.

Затем определяется положение экстремума zˆ, полагая производную по z равной нулям:

Параметры могут быть оценены с использованием аппроксимации стандартной разности из соседних точек выборки в DoG, что приводит к линейной системе 3 × 3, которая может быть решена эффективно. Этот процесс может потребоваться выполнять итеративно, поскольку, если какое-либо из вычисленных значений смещения перемещается более чем на половину пикселя, возникает необходимость в повторной оценке z ^, поскольку соответствующая окрестность для аппроксимации изменится. Точки, которые не сходятся быстро, отбрасываются как нестабильные.
Значение в локализованном экстремуме может быть интерполировано,

и любые точки со значением ниже определенного порога отклоняются как точки с низким контрастом.
Заключительный тест выполняется для удаления любых элементов, расположенных по краям изображения, поскольку они будут иметь двусмысленность, если они будут использоваться для целей сопоставления. Пик, расположенный на гребне в DoG (который соответствует краю на изображении), будет иметь большую принципиальную кривизну поперек гребня и низкую вместе с ним, тогда как четко определенный пик (капля) будет иметь большую принципиальную кривизну в обоих направлениях. Гессен ЧАС по x и y

оценивается для характерной точки, снова с использованием приближения локальной разности, и отношения собственных значений λ1 и λ2, которые соответствуют основным кривизнам, по сравнению с пороговым отношением r, как в

и баллы с высоким коэффициентом отклонены.
Это немного похоже на Харриса, который заботится о производном распределении области вокруг выбранной точки. (Вы можете получить дополнительную информацию из этого pdf-файла)

Однако собственные значения гессиана ЧАС соответствуют основным кривизнам. Так как?

Этот PDF-файл дает прекрасное объяснение.
Предположим, что у нас есть поверхность M в R³, заданная графиком гладкой функции z = f (x, y). Предположим, что M проходит через начало координат p и его касательную плоскость существует самолет (это почти верно для обнаруженной капли, подумайте о подсолнухах). Пусть N = (0,0,1), единичная нормаль к M в точке p.

Пусть v - единичный вектор в TpM, скажем, v = (v1, v2,0). Пусть c будет параметризованной кривой, полученной путем сечения M через плоскость, натянутую на v и N:

Теперь мы можем вычислить кривизну c вдоль направления v = (v1, v2,0). κv - это величина, обратная радиусу соприкасающегося круга к c в точке p.

Главные кривизны поверхности в точке p будут наибольшими и наименьшими возможными значениями λ1, λ2 κv (поскольку v пробегает возможные единичные касательные векторы). Если вы не понимаете этого аргумента, вы можете посмотреть отличный блог о PCA.


2 ответа 2

Единственными минимальными поверхностями вращения вокруг оси $ x $ являются плоская плоскость (ортогональная оси) и катеноид. Плоскость действительно пересекает ось, катеноид просто нет. Это жизнь. Катеноид можно перемещать и масштабировать без потери минимальности. Между тем, он физически устойчив только для ограниченного подмножества. Если мы возьмем два одинаковых круга из проволоки и окунем их в мыльный раствор так, чтобы между ними образовалась полая трубка из мыльной пленки, то круги (если они будут соосными) могут быть разделены только примерно на 2/3 длины. диаметр кружков. Еще больше разделения, и мыльная пленка выскочит.


Вычислительная биомеханика для анализа медицинских изображений

39.2 Анализ изображений информирует биомеханику: модель вычислительной биомеханики для конкретного пациента на основе медицинских изображений 1

39.2.1 Извлечение геометрии из медицинских изображений: сегментация

Метод конечных элементов использует сетку из взаимосвязанных шестигранных и / или тетраэдрических элементов в качестве расчетной сетки. Для построения таких сеток необходима замкнутая поверхность, определяющая границу анализируемого континуума (органа человеческого тела) [18,19]. Извлечение такой поверхности из медицинских изображений требует сегментации (рис. 39.2). Чтобы сделать создание модели FE для конкретного пациента действительно применимым к крупным клиническим исследованиям, в идеале сегментация (и другие этапы разработки модели) должны быть автоматизированы.

Рисунок 39.2. От медицинского изображения до модели вычислительной биомеханики для конкретного пациента с использованием метода конечных элементов (пример нейрохирургического моделирования). Сегментация изображений, генерация поверхностей и построение конечно-элементной сетки часто требуют непосредственного участия аналитика и, следовательно, являются трудозатратными. По материалам Wittek et al. [85].

Автоматическая сегментация изображений остается сложной задачей из-за сложности медицинских изображений. Следовательно, не существует универсального алгоритма сегментации каждого медицинского изображения. Методы, доступные для сегментации, зависят от приложения, метода визуализации и рассматриваемой анатомической структуры [85]. Примеры методов, которые использовались для автоматизации сегментации анатомических структур, включают пороговую обработку [73], наращивание области, методы, основанные на водоразделе [8], подход набора уровней [80] и алгоритмы обнаружения краев (например, отслеживание контуров с использованием концепция расширенной границы [61], обнаружение краев Кэнни [17], обнаружение краев Собеля и обнаружение краев Лапласа [25]).

Чтобы улучшить сегментацию медицинских изображений, можно использовать предварительную анатомическую информацию, чтобы помочь очертить анатомические структуры. Для этого часто используются статистические методы и, в последнее время, машинное обучение. Примеры включают алгоритм сегментации максимального ожидания (EM), который применялся при сегментации различных анатомических структур, таких как мозг [55,76] и длинные кости (бедренная и большеберцовая кость) [78].

39.2.2 Генерация конечно-элементной сетки

Сегодня 4-узловые тетраэдры и 8-узловые гексаэдры являются наиболее часто используемыми типами конечных элементов. Генераторы тетраэдрической сетки являются стандартной функцией широко используемых пакетов автоматизированного проектирования для автоматизированного проектирования. Они используют хорошо зарекомендовавшие себя методы и схемы оптимизации [21], включая метод триангуляции Делоне [2], метод модифицированного октодерева [63] и метод продвинутого фронта [62]. Генераторы тетраэдрической сетки, доступные в коммерческих пакетах CAE, облегчают автоматизированную (с необходимыми вводными данными аналитика, обычно ограниченными параметрами, определяющими размер элемента, плотность сетки и качество элементов) дискретизацию объектов, анализируемых в инженерных приложениях.

Как обсуждалось в разделе Извлечение геометрии из медицинских изображений: сегментация при создании биомеханических моделей для конкретного пациента информация о геометрии анализируемого континуума должна быть извлечена (посредством сегментации изображения) из медицинских изображений. Попытки решить эту проблему привели к созданию коммерческих (например, Mimics® biomedical.materialise.com/mimics) и пакетов программного обеспечения с открытым исходным кодом (например, Slicer3D http://www.slicer.org/), которые объединяют алгоритмы сегментации изображений и создания сетки. Несмотря на многообещающие результаты, поиски автоматизированного создания тетраэдрических сеток для конкретных пациентов из медицинских изображений еще далеко от завершения, поскольку сегментация изображений органов с геометрией / анатомией, искаженной болезнью и патологией (например, опухолями), все еще остается проблемой [85] и имеет тенденцию полагаться на опыт аналитика и способность вручную очертить границы различных анатомических структур на изображениях. Методы создания тетраэдрических сеток все еще являются активной темой исследований, о чем свидетельствуют регулярно проводимые семинары Tetrahedron по созданию сеток для численных вычислений [34,75]. Это включает в себя проблемы, отмеченные в более ранних исследованиях автоматического создания сетки, такие как изменение качества элементов в соответствии с используемым методом создания сетки [41] и контроль качества элементов [81,95].

Несмотря на то, что доступны многочисленные автоматизированные генераторы тетраэдрических сеток, и во многих исследованиях такие сетки использовались в качестве метода выбора для индивидуальных расчетных сеток для биомеханических моделей, точность и надежность результатов, полученных с использованием 4-узловых тетраэдрических элементов, не должны приниматься во внимание. как должное. Это связано с тем, что такие элементы демонстрируют искусственную жесткость, известную как объемная блокировка, когда они применяются при моделировании несжимаемых или почти несжимаемых континуумов, таких как мягкие ткани [44]. При наличии объемной фиксации результаты зависят от сетки. К сожалению, этот факт, по-видимому, часто упускается из виду в процессе рецензирования, в результате чего публикуются многие статьи с результатами, потенциально затронутыми объемной блокировкой. Были использованы два типа методов решения проблемы объемного запирания: (1) улучшенные линейные тетраэдрические элементы, использующие ряд контрмер для предотвращения запирания (2) элементы высшего порядка и элементы смешанного состава. Первый включает тетраэдрический элемент среднего узлового давления (ANP) [12] и его усовершенствование Joldes et al. [49], который обеспечивает гораздо лучшие результаты для почти несжимаемых материалов, чем стандартный тетраэдрический элемент, с небольшим увеличением вычислительных затрат.

Тетраэдрические элементы второго порядка с 10 узлами и смешанной формулировкой (вытеснение-давление) легко доступны в коммерческих и открытых кодах конечных элементов. Они эффективны при выполнении объемного запирания, хотя и не устраняют его полностью [79]. Однако стоимость их вычислений как минимум в четыре раза выше, чем у стандартных линейных четырехузловых тетраэдрических элементов. Разница в стоимости еще выше для анализа методом конечных элементов с использованием явного шага по времени. Это может быть ограничивающим фактором, поскольку многие важные приложения, в том числе хирургия под визуальным контролем, требуют, чтобы модели, состоящие из более чем сотни тысяч элементов, решались в реальном времени (на практике за десятки секунд [36]) на стандартном оборудовании.

Недостаточно интегрированные (с использованием количества точек Гаусса меньше, чем требуется для точного пространственного интегрирования с учетом порядка интерполяционного полинома в функциях формы элемента) гексаэдрические элементы не демонстрируют объемной блокировки [24,49] и являются наиболее эффективными, когда Используются явные схемы интегрирования по времени [89,90]. Однако, несмотря на десятилетия интенсивных усилий, не существует доступных алгоритмов автоматического построения гексаэдральной сетки, которые работали бы для сложных форм, которые обычно встречаются при моделировании человеческих органов. Гексаэдрическая сетка особенно сложна, когда опухоль и другие патологии влияют на анатомию пациента [87]. Ручное или полуручное [37] создание трехмерной гексаэдрической сетки, хотя часто является высокоточным методом, требует значительного времени и усилий оператора. Следовательно, для этого типа сетки редко сообщается об уточнении сетки и исследованиях сходимости.

Были предложены различные автоматизированные методы построения гексаэдрической сетки, такие как штукатурка [11], плетение усов [83], центроидальная мозаика Вороного [43] и методы на основе октодерева [45,63,94,95]. Хотя такие методы позволяют создавать сетки высокого качества, контроль размеров элементов остается сложной задачей. Они требуют существенного уровня технических знаний и опыта от аналитика, строящего гексаэдральные сетки для конкретных пациентов - важное ограничение в клинических приложениях, где пользователи являются медицинскими специалистами, а не специалистами по конечным элементам и информатике.

39.2.3 Изображение как модель вычислительной биомеханики: бессеточная дискретизация

Генерация сетки составляет основную часть времени на настройку задачи (рис. 39.2). Это особенно верно для построения анатомической шестигранной сетки конечных элементов. Например, Атешян и др. [1] заявили, что процесс создания модели FE суставного контакта для конкретного пациента из данных изображения компьютерной артрографии (CTA) занимает более 100 часов для сегментации и создания сетки. Даже когда создается сетка хорошего качества, метод решения КЭ часто дает сбой в случае больших деформаций из-за таких проблем, как инверсия элементов. Моделирование расслоения ткани также затруднено, так как в процессе моделирования разрыва создаются мелкие элементы плохой формы [84].

Бессеточные методы вычислительной механики признаны одним из возможных решений некоторых из этих проблем [26,42,47,48,53,92]. В бессеточных методах интерполяция переменных поля строится по неструктурированному «облаку» узлов, разбросанных в пределах области задачи и на ее границе, с пространственным интегрированием, проводимым по сетке фоновых ячеек интегрирования, которые не должны соответствовать границе области проанализировал континуум [42]. Такие облака и сетки несравнимо легче создавать, чем сетки конечных элементов.

Чтобы в полной мере использовать преимущества бессеточной дискретизации и открытого пути для автоматического создания моделей для конкретных пациентов из медицинских изображений, нам необходим подход, который позволил бы нам различать различные типы тканей, изображенных на изображении, без сегментации. Такой подход был предложен в предыдущих исследованиях, проведенных в лаборатории интеллектуальных систем для медицины Университета Западной Австралии, в которых сегментация была заменена нечеткой классификацией тканей (рис. 39.3, правый столбец). При классификации нечетких тканей поверхности не создаются, поскольку свойства материала назначаются на основе интенсивности изображения непосредственно в точках интегрирования (рис. 39.3). Этот процесс подробно описан в Zhang et al. [93], Ли и др. [57] и Ли и др. [58]. Хотя нечеткая классификация тканей может немного снизить точность расчета напряжений, проверка, проведенная Zhang et al. [93] показали, что общая точность мало влияет на различия между результатами бессеточных и конечно-элементных расчетов деформаций мозга всего до 0,6 мм. Поскольку разрешение интраоперационной МРТ обычно составляет порядка 1 мм × 1 мм × 2,5 мм, эти различия можно рассматривать как незначительные для практических целей. Что наиболее важно, бессеточные вычислительные сетки со свойствами материала, назначенными с использованием нечеткой классификации тканей, становятся более надежными, а весь рабочий процесс моделирования для конкретного пациента упрощается и намного легче автоматизируется (рис. 39.3 и 39.4).

Рисунок 39.3. (A) Модель конечных элементов мозга для конкретного пациента с геометрией паренхимы, опухоли (красный) и желудочка (синий), полученная с помощью сегментации МРТ. Обратите внимание на четко определенные границы между паренхимой, опухолью и желудочками. (B) Модель того же мозга без сетки, созданная с использованием нечеткой классификации тканей без поверхностей (границ), явно разделяющих паренхиму, опухоль и желудочки. Нечеткие функции принадлежности, которые описывают вероятность принадлежности данной точки интеграции паренхиме, опухоли и желудочкам, обозначены красным для опухоли и синим для желудочков. Узлы поддержки показаны зелеными кружками. По материалам Zhang et al. [93].

Рисунок 39.4. Сравнение традиционного построения модели вычислительной биомеханики для конкретного пациента с использованием сегментации изображений для определения геометрии органов и дискретизации конечных элементов (левый столбец) и автоматизированного процесса, который использует нечеткую классификацию тканей и бессеточную дискретизацию (правый столбец). "ДО Н.Э." обозначает граничные условия. По материалам Zhang et al. [93].

Бессеточные методы предлагают перспективу автоматизированного создания расчетных сеток для конкретных пациентов непосредственно из медицинских изображений, а их надежность при обработке больших деформаций превосходит метод конечных элементов [7,48,59,60]. Однако в литературе отмечены важные недостатки бессеточных методов, которые не позволяют использовать их неспециалистами в клинической среде:

Невозможность создания функций формы для произвольных сеток. Могут использоваться только «допустимые распределения узлов» [22]. Пользователь должен обладать достаточными знаниями и опытом, чтобы понимать, что представляет собой «допустимая» сетка и какие модификации необходимы, если сетка не является «допустимой».

Отсутствие теоретических границ погрешности численного интегрирования из-за неполиномиального характера подынтегральных выражений. Без строго установленных границ ошибок методы решения не могут использоваться в чувствительных приложениях, таких как вычислительная биомеханика в медицине.

Недавние разработки бессеточных алгоритмов [48] в значительной степени устранили эти недостатки и сделали бессеточные методы еще более подходящими для приложений вычислительной биомеханики, ориентированных на конкретного пациента. Они включают модифицированное приближение методом наименьших квадратов, которое может обрабатывать почти произвольные узловые распределения без потери точности [22], алгоритмы для эффективного и точного наложения заданных смещений на границу (проблема, называемая в вычислительной механике наложением основных граничных условий) [51 ] и адаптивная интеграция, которая распределяет точки интегрирования для достижения точности, указанной пользователем [54]. Хотя эти разработки не устраняют потребность в общих знаниях вычислительной механики при применении бессеточных методов при создании моделей вычислительной биомеханики для конкретных пациентов, они позволяют использовать такие методы в качестве инструментов без необходимости опыта в конкретных бессеточных алгоритмах.


Смотреть видео: Surface Laplacian for cleaning, topoplogical localization, and connectivity (May 2022).